已知橢圓的中心在原點，焦點在軸的非負半軸上，點到短

軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點距離的最大值是6.

(1)求橢圓的標準方程和離心率；

(2)若為焦點關(guān)于直線的對稱點，動點滿足，問是否存在一個定點，使到點的距離為定值？若存在，求出點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

(1) 橢圓的標準方程為. 離心率  

(2) 存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及軌跡方程的求解來判定點是否存在。

（1）根據(jù)已知中橢圓的幾何性質(zhì)得關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，進而解得。

（2）利用比值為定值，設(shè)出點的坐標，然后利用M的軌跡方程求解得到結(jié)論。

解：(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得

.

所以橢圓的標準方程為.……………………6分

離心率…………………………7分

 (2),設(shè)由得

……………………10分

化簡得，即……………………12分

故存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為………13分 

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，左焦點為F1（-3，0），右準線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標準方程和離心率e；
（2）設(shè)P為橢圓上第一象限的點，F(xiàn)2為右焦點，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，且橢圓過點P（3，2），焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，一個焦點F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點A，B．求△AOB的面積．

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