Question

如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(I)求三棱錐E—PAD的體積；

(II)試問當點E在BC的何處時，有EF//平面PAC；

(1lI)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PEAF．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的長即為三棱錐的高，而三棱錐的體積等于的體積，計算即得.

（Ⅱ）當點為的中點時，與平面平行．

利用三角形中位線定理，得到，進一步得出∥平面．

（Ⅲ）證明：根據(jù)等腰三角形得出，根據(jù)平面，平面，

得到 ，又因為 且，⊂平面，得到平面，又平面，．

再根據(jù)，平面，及平面，根據(jù)，作出結論.

試題解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的長即為三棱錐的高，三棱錐的體積等于的體積

= = ．

（Ⅱ）當點為的中點時，與平面平行．

∵在中，分別為的中點，連結

，又平面，而平面，

∴∥平面．

（Ⅲ）證明：因為，所以等腰三角形中，

∵平面，平面，

∴ 

又因為 且，⊂平面，

∴平面，又平面，

∴．

又∵，

∴平面．PB，BE⊂平面PBE，

∵平面，

∴，即無論點E在邊的何處，都有．

考點：幾何體的體積，垂直關系，平行關系.