Question

直角梯形的一個內角為45°，下底長為上底長的

3

2

，這個梯形繞下底所在的直線旋轉一周所成的旋轉體的全面積為（5+

2

）π，則旋轉體的體積為（　�。�

• A、2π
• B、

  4+ 2

  3

  π
• C、

  5+ 2

  3

  π
• D、

  7

  3

  π

Answer 1

分析：由題意可知，這個幾何體的面積是圓柱中一個圓加一個長方形加一個扇形的面積，而這個幾何體的體積是一個圓錐加一個同底圓柱的體積．再根據題目中的條件求解即可．

解答：解：這個幾何體的面積是圓柱中一個圓加一個長方形加一個扇形的面積，
圓的面積，直角腰為半徑，長方形的面積，圓的周長為長，上底為寬，扇形的面積，圓的周長為弧長，另一腰則為扇形的半徑．
設上底為x，則下底為

3

2

x，直角腰為

1

2

x，另一腰為整個面積式子為

1

4

πx2+πx2+

2

×

1

4

πx2=(5+

2

)π，
解得x=±2，因為x＞0，所以x=-2舍去，x=2．而這個幾何體的體積是一個圓錐加一個同底圓柱的體積，圓錐的高，下底減上底得圓錐的高為1，
圓柱體積=Sh=

1

2

 π r2h=π×1²×2=2π，圓錐體積=

1

3

π
所以整個幾何體的體積為

7

3

π．
故選D．

點評：本題考查學生的空間想象能力，和邏輯思維能力，等量之間的轉換，是中檔題．