Question

(1)已知a+1≥0,求證：不等式x+ay≥0對滿足x≥y≥0的x、y恒成立；

(2)試指出使不等式x+ay+bz≥0對滿足x≥y≥z≥0的x、y、z恒成立時的充要條件，并給出證明.

Answer 1

(1)證明：令f(x)=x+ay,

∵x≥y≥0,∴f(x)_min=y+ay=(a+1)y.

又a+1≥0,∴f(x)≥f(x)_min≥0.                                           

(2)解：令f(x)=x+ay+bz,則由x≥y知f(x)≥(a+1)y+bz.

又y≥z,則當(dāng)a+1≥0時，才有f(x)≥(a+1)y+bz≥(a+b+1)z.

又z≥0,故只有當(dāng)a+b+1≥0時，才有f(x)≥(a+1)y+bz≥(a+b+1)z≥0成立.8分

∴使不等式x+ay+b≥0對滿足x≥y≥z≥0的x、y、z恒成立時的充要條件是

                                                                   

充分性已證，下面證明必要性：

若不等式x+ay+bz≥0對滿足x≥y≥z≥0的x、y、z恒成立，則令x=y=1,z=0，可得a+1≥0.                                                                  

令x=y=z=1，可得a+b+1≥0.