Question

某商場準(zhǔn)備舉行促銷活動(dòng)，對(duì)選出的某品牌商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品價(jià)格的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高180元，同時(shí)允許顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都可獲得一定數(shù)額的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)的概率為

1

2

，請(qǐng)問：商場應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)自己有利（顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的期望值不大于商場的提價(jià)數(shù)額）？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：假設(shè)商場中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則顧客在3次抽獎(jiǎng)中所獲得獎(jiǎng)金總額是隨機(jī)變量X，其所有可能 的取值為：0，x，2x，3x，X=0時(shí)表示顧客在一次抽獎(jiǎng)中都沒有獲獎(jiǎng)，分別計(jì)算隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列求出X的期望值；要使促銷方案對(duì)商場有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望值不大于商場的提價(jià)金額．

解答： 解：假設(shè)商場中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則顧客在3次抽獎(jiǎng)中所獲得獎(jiǎng)金總額是隨機(jī)變量X，其所有可能 的取值為：0，x，2x，3x，X=0時(shí)表示顧客在一次抽獎(jiǎng)中都沒有獲獎(jiǎng)，所以P（X=0）=(

1

2

)3=

1

8

，
同理可得：P（X=x）=

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2x）=

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

3

8

，
P（X=3x）=（

1

2

）³=

1

8

，
所以隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	x	2x	3x
P	0.125	0.375	0.375	0.125

所以顧客在3次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金的總額的期望值為E（X）=0×0.125+x×0.375+2x×0.375+3x×0.125=1.5x，
要使促銷方案對(duì)商場有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望值不大于商場的提價(jià)金額，因此應(yīng)有1.5x≤180，解得x≤120，
所以商場 應(yīng)該將中獎(jiǎng)金額最高定為120元，才能使促銷方案對(duì)自己有利．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了隨機(jī)變量的概率求法以及期望值的求法，體現(xiàn)了利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．