Question

如圖，正方形ABCD邊長為2，PA⊥平面ABCD，BF∥PA，BF=

1

3

PA，E為AB的中點
（Ⅰ）求證：DE∥平面PCF；
（Ⅱ）若PC與平面ABCD所成的角為60°，求二面角F-PC-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DE∥平面PCF；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，根據(jù)PC與平面ABCD所成的角為60°，利用向量法即可求二面角F-PC-A的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）建系如圖設(shè)A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，3m），F(xiàn)（2，0，m），
則E（1，0，0），
所以可計算得平面PCF的一個法向量為

n

=（2m，m，2），

DE

=（1，-2，0），
即

n

•

DE

=0，
所以DE∥平面PCF．
（Ⅱ）因為∠PCA為PC與平面ABCD所成的角，
即∠PCA=60°，
所以PA=2

6

，BF=

2 6

3

，m=

2 6

3

，
平面PAC中，

AP

=（0，0，3m），

AC

=（2，2，0），
平面PAC的一個法向量為

l

=（1，-1，0），
則cos＜

n

，

l

＞=

n • l

| n |•| l |

=

m

5m2+4m• 2

=

2 6 3

5× 4×6 9 +4 • 2

=

13

13

則二面角F-PC-A的余弦值為

13

13

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判斷，以及空間二面角的計算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．