【題目】已知數(shù)列、
滿足
,
,
,
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設數(shù)列的前
項和為
,求證:
;
(Ⅲ)設數(shù)列的前
項和為
,求證:當
時,
.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)推導出數(shù)列,可得出
,利用基本不等式可得出
,再由
可得出
,利用作差法證得
,進而可證得結(jié)論;
(Ⅱ)由可得出
,結(jié)合
可推導出
,進而得出
,再利用放縮法可證得結(jié)論成立;
(Ⅲ)由可推導出
,進而可得出
,再利用累加法及等比數(shù)列的求和公式即可證明.
(Ⅰ)因為,則
為常數(shù)數(shù)列,
又,
,且
,則
,
故,
,易知
,
所以(當且僅當
時取等號),
因為,因此
.
又,所以
;
(Ⅱ)由,有
,
又,則
,則
;
故,即
,
所以,
當時,
;
當時,
,
因此,的前
項和
;
(Ⅲ)由,得
,
又,則
,故
,
所以,
因此,的前
項和
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖拋物線的焦點為
,
為拋物線上一點(
在
軸上方),
,
點到
軸的距離為4.
(1)求拋物線方程及點的坐標;
(2)是否存在軸上的一個點
,過點
有兩條直線
,滿足
,
交拋物線
于
兩點.
與拋物線相切于點
(
不為坐標原點),有
成立,若存在,求出點
的坐標.若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)),以坐標原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.曲線
的極坐標方程為
,曲線
與曲線
的交線為直線
.
(1)求直線和曲線
的直角坐標方程;
(2)直線與
軸交于點
,與曲線
相交于
,
兩點,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,證明曲線
分別在點
和點
處的切線為不同的直線;
(3)已知過點能作曲線
的三條切線,求
,
所滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒,某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,每份樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗方式:①逐份檢驗,則需要檢驗n次;②混合檢驗,將其中
份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性,這k份血液全為陰性,因此這k份血液樣本檢驗一次就夠了,如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份血液再逐份檢驗,此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為
次.假設在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為
.
(1)假設有5份血液樣本,其中只有2份為陽性,若采取逐份檢驗方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率;
(2)現(xiàn)取其中份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的次數(shù)為
,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為
.
(i)試運用概率統(tǒng)計知識,若,試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式
;
(ii)若,采用混合檢驗方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.
參考數(shù)據(jù):,
,
,
,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)若函數(shù)在區(qū)間
上不單調(diào),求
的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上有極大值
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年4月,河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案,決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施“”高考模式.所謂“
”,即“3”是指考生必選語文、數(shù)學、外語這三科;“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科;“2”是指考生在生物、化學、思想政治、地理四科中任選兩科.
(1)若某考生按照“”模式隨機選科,求選出的六科中含有“語文,數(shù)學,外語,物理,化學”的概率.
(2)新冠疫情期間,為積極應對“”新高考改革,某地高一年級積極開展線上教學活動.教育部門為了解線上教學效果,從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生2500名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試,并給前400名頒發(fā)榮譽證書,假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布,且滿分為450分.
①考生甲得知他的成績?yōu)?/span>270分,考試后不久了解到如下情況:“此次測試平均成績?yōu)?/span>171分,351分以上共有57人”,請用你所學的統(tǒng)計知識估計甲能否獲得榮譽證書,并說明理由;
②考生丙得知他的實際成績?yōu)?/span>430分,而考生乙告訴考生丙:“這次測試平均成績?yōu)?/span>201分,351分以上共有57人”,請結(jié)合統(tǒng)計學知識幫助丙同學辨別乙同學信息的真?zhèn)危⒄f明理由.
附:;
;
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱錐S一ABC中,△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小為,若S,A,B,C四點都在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.πB.
πC.
πD.3π
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點E(a,0)的直線l與C交于不同的兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=﹣4,以Q為中點的線段的兩端點分別為M,N,其中N在x軸上,M在C上,則a=_____.|PM|的最小值為_____.
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