Question

已知函數(shù)f（x）=（2x²-6x+a+6）•e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調區(qū)間；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）+（2x-a-4）•e^x，是否存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得當x∈[m，n]時函數(shù)g（x）的值域為[2m，2n]，若存在求出m，n，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x，分別討論a的取值范圍，從而求出其單調區(qū)間，
（2）由題意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，假設存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得當x∈[m，n]時函數(shù)g（x）的值域為[2m，2n]，即n＞m＞1，通過討論得出，h（x）在（1，+∞）只存在一個零點，與方程g（x）=2x有兩個大于1的相異實根相矛盾，所以假設不成立，所以不存在m，n符合題意．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x=[2(x-

1

2

)2+a-

1

2

]•e^x，
①當a≥

1

2

時，由f′x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＜

1

2

時，f′（x）＞0，
解得：x＜

1

2

-

1-2b

2

或x＞

1

2

+

1-2b

2

，
（�。┤鬭≤0，則

1

2

-

1-2b

2

≤0，

1

2

+

1-2b

2

≥1，
∴f（x）在（0，

1

2

+

1-2b

2

）上單調遞減，在（

1

2

+

1-2b

2

，+∞）上單調遞增，
（ⅱ）若0＜a＜

1

2

，則

1

2

+

1-2b

2

≥0，
∴f（x）在（0，

1

2

-

1-2b

2

）和[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）上單調遞增，
在（

1

2

-

1-2b

2

，

1

2

+

1-2b

2

）上單調遞減，
綜上所述：當a≤0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為：（0，

1

2

+

1-2b

2

），
單調遞增區(qū)間為[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）；
當0＜a＜

1

2

時，f（x）的單調遞減區(qū)間為：（

1

2

-

1-2b

2

，

1

2

+

1-2b

2

），
單調遞增區(qū)間為：（0，

1

2

-

1-2b

2

）和[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）；
當a≥

1

2

時，單調遞增區(qū)間為：（0，+∞）．
（2）由題意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，
∴g′（x）=2（x²-1）•e^x，
假設存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得當x∈[m，n]時函數(shù)g（x）的值域為[2m，2n]，即n＞m＞1，
當x∈[m，n]時，g′（x）=2（x²-1）e^x＞0，
∴g（x）在區(qū)間[m，n]單調遞增，
∴

g(m)=2m g(n)=2n

，
即方程g（x）=2x有兩個大于1的相異實根，
設h（x）=g（x）-2x=（2x²-4x+2）e^x-2x，（x＞1），
∴h′（x）=（2x²-2）e^x-2，
設φ（x）=h′（x）=（2x²-2）e^x-2，
∴φ′（x）=（2x²+4x-2）e^x
x＞1，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上單調增，
又φ（1）=-2＜0，φ（2）=6e²-2＞0，
即存在唯一的1＜x₀＜2使φ（x₀）＜0．
當x∈（1，x₀）時，φ（x₀）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當x∈（x₀，+∞）時，φ（x₀）＞0，h（x）為增函數(shù)；
∴h（x）在x₀處取到極小值．又h（1）=-2＜0，h（2）=2e²-4＞0，
∴h（x）在（1，+∞）只存在一個零點，與方程g（x）=2x有兩個大于1的相異實根相矛盾，
所以假設不成立，所以不存在m，n符合題意．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，求函數(shù)的單調區(qū)間，導數(shù)的應用，本題屬于有一定難度的問題．