Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是面積為的菱形，∠ADC為銳角，M為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥CD；
（Ⅱ）求PD與平面CDM所成的角的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）證明：過(guò)P作PE⊥CD于E，連接AE，則E是DC的中點(diǎn)
∵側(cè)面PDC⊥底面ABCD，PE?側(cè)面PDC
∴PE⊥底面ABCD
∵底面ABCD是面積為的菱形，邊長(zhǎng)為2
∴2×AD•DCsin∠ADE=2
∴sin∠ADC=
∵∠ADC是銳角，∴∠ADC=
∴△ADC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形
∵E為DC的中點(diǎn)，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）解：設(shè)PD與平面CDM所成的角為θ，取PA的中點(diǎn)為N，連接MN、DN
∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)，∴MN∥AB，
∵DC∥AB，∴MN∥DC，
∵PD=AD，N為PA的中點(diǎn)，∴PN⊥DN，
∵PA⊥CD，CD∩DN=D
∴PN⊥平面DCMN
∴線(xiàn)段PN的長(zhǎng)就是P到平面DCM的距離，
在等腰直角三角形PEA中，AE=PE=，PA=，∴PN=PA=
∴P到平面DCM的距離是，∴，
故PD與平面CDM所成的角為．
分析：（Ⅰ）過(guò)P作PE⊥CD于E連接AE，根據(jù)線(xiàn)面所成角的定義可知∠PBE為側(cè)棱PB與底面ABCD所成的角，求出PE與BE，在△BCE中，求出∠BCE，從而得到△ADC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則AE⊥CD，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可知PA⊥CD；
（Ⅱ）取PA的中點(diǎn)為N，連接MN、DN，證明線(xiàn)段PN的長(zhǎng)就是P到平面DCM的距離，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查線(xiàn)面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出線(xiàn)面角是關(guān)鍵．