Question

將數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀.

(1)若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,寫(xiě)出圖中第5行第5個(gè)數(shù);

(2)若函數(shù)f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ,且f(1)= n²,求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

(3)設(shè)T_m為第m行所有項(xiàng)的和,在(2)的條件下,用含m的代數(shù)式表示T_m.

Answer 1

解:(1)第5行第5個(gè)數(shù)是29.

(2)由f(1)=n²,得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n².

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和,∴S_n=n².當(dāng)n=1時(shí),a₁=S₁=1,

當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=n²-(n-1)²=2n-1.

又當(dāng)n=1時(shí),2n-1=1=a₁,∴a_n=2n-1,

即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n-1(n=1,2,3,…).

(3)由(2)知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

∵前m-1行共有項(xiàng)1+2+3+…+(m-1)=×(m-1)=,

∴第m行的第一項(xiàng)為+1=2×(+1)-1=m²-m+1.

∴第m行構(gòu)成首項(xiàng)為m²-m+1,公差為2的等差數(shù)列,且有m項(xiàng).

∴T_m=(m²-m+1)×m+×2=m³.