【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)若且
,求證:
.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;(2)見解析.
【解析】
(1)求導得到導函數(shù)后,通過,確定
的正負,從而得到函數(shù)的單調(diào)性;
(2)將問題轉化為證明:,設
,只需證
;通過求導運算,可知
,再通過零點存在定理,不斷確定
的最值位置,從而證得
,證得結論.
(1)函數(shù)的定義域為
,
因為,所以
,
當時,
;當
時,
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
(2)若且
,
欲證,只需證
,
即證,
設函數(shù),則
,
當時,
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增,所以
,
設函數(shù),則
,
設函數(shù),則
,
當時,
,
故,使得
,
從而函數(shù)在
上單調(diào)增,在
上單調(diào)減,
所以,且
,
故存在,使得
,
即當時,
,當
時,
,
從而函數(shù)在
上單調(diào)增,在
上單調(diào)減,
因為,故當
時,
,
所以,
即.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,不與坐標軸垂直的直線
與拋物線交于
兩點,當
且
時,
.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若過定點
,點
關于
軸的對稱點為
,證明:直線
過定點,并求出定點坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動場所,現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示,已知:
米,
米,擬在這塊草坪內(nèi)鋪設三條小路
、
和
,要求點
是
的中點,點
在邊
上,點
在邊
時上,且
.
(1)設,試求
的周長
關于
的函數(shù)解析式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設費用均為元,試問如何設計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列前5項和為50,
,數(shù)列
的前
項和為
,
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列,
的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足
,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召,某貧困縣在精準推進上下功夫,在精準扶貧上見實效.根據(jù)當?shù)貧夂蛱攸c大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè),藥用昆蟲的使用相應愈來愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆蟲大量活動與繁殖,易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(單位:個)與一定范圍內(nèi)的溫度
(單位:
)有關,于是科研人員在
月份的
天中隨機選取了
天進行研究,現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的
組觀察數(shù)據(jù)如表:
日期 |
|
|
|
|
|
溫度 | |||||
產(chǎn)卵數(shù) |
(1)從這天中任選
天,記這
天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為
、
,求“事件
,
均不小于
”的概率?
(2)科研人員確定的研究方案是:先從這組數(shù)據(jù)中任選
組,用剩下的
組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對被選取的
組數(shù)據(jù)進行檢驗.
①若選取的是月
日與
月
日這
組數(shù)據(jù),請根據(jù)
月
日、
日和
日這三組數(shù)據(jù),求出
關于
的線性回歸方程?
②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過個,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
附公式:,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐中,底面
為菱形,
平面
,
,
分別是
,
的中點.
(1)證明:;
(2)取,若
為
上的動點,
與面
所成最大角的正弦值為
,求二面角
的余弦值.
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