【題目】已知函數(shù).

1)若,求函數(shù)的單調(diào)性;

2)若,求證:.

【答案】1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)見解析.

【解析】

1)求導得到導函數(shù)后,通過,確定的正負,從而得到函數(shù)的單調(diào)性;

2)將問題轉化為證明:,設,只需證;通過求導運算,可知,再通過零點存在定理,不斷確定的最值位置,從而證得,證得結論.

1)函數(shù)的定義域為,

因為,所以

時,;當時,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

2)若

欲證,只需證

即證,

設函數(shù),則,

時,,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增,所以,

設函數(shù),則,

設函數(shù),則

時,

,使得,

從而函數(shù)上單調(diào)增,在上單調(diào)減,

所以,且

故存在,使得

即當時,,當時,,

從而函數(shù)上單調(diào)增,在上單調(diào)減,

因為,故當時,,

所以

.

練習冊系列答案
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【題目】已知拋物線,不與坐標軸垂直的直線與拋物線交于兩點,當時,.

1)求拋物線的標準方程;

2)若過定點,點關于軸的對稱點為,證明:直線過定點,并求出定點坐標.

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1)求證:平面;

2)求CP與平面所成角的余弦值.

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1)設,試求的周長關于的函數(shù)解析式,并求出此函數(shù)的定義域;

2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設費用均為元,試問如何設計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用.

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【題目】已知等差數(shù)列前5項和為50, ,數(shù)列的前項和為, .

(Ⅰ)求數(shù)列, 的通項公式;

(Ⅱ)若數(shù)列滿足, ,求的值.

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【題目】為響應國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召,某貧困縣在精準推進上下功夫,在精準扶貧上見實效.根據(jù)當?shù)貧夂蛱攸c大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè),藥用昆蟲的使用相應愈來愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆蟲大量活動與繁殖,易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(單位:個)與一定范圍內(nèi)的溫度(單位:)有關,于是科研人員在月份的天中隨機選取了天進行研究,現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的組觀察數(shù)據(jù)如表:

日期

溫度

產(chǎn)卵數(shù)

1)從這天中任選天,記這天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為,求“事件均不小于”的概率?

2)科研人員確定的研究方案是:先從這組數(shù)據(jù)中任選組,用剩下的組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.

①若選取的是日與日這組數(shù)據(jù),請根據(jù)日、日和日這三組數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸方程?

②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過個,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?

附公式:,.

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【題目】如圖,已知四棱錐中,底面為菱形,平面,,分別是,的中點.

1)證明:

2)取,若上的動點,與面所成最大角的正弦值為,求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù).

1)若,求的單調(diào)區(qū)間;

2)若的唯一極值點,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù),.

1)若,求的零點個數(shù);

2)證明:,.

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