【題目】某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾,決定進(jìn)行圍海造陸以增加陸地面積.如圖,兩海岸線,
所成角為
,現(xiàn)欲在海岸線
,
上分別取點(diǎn)
,
修建海堤,以便圍成三角形陸地
,已知海堤
長為6千米.
(1)如何選擇,
的位置,使得
的面積最大;
(2)若需要進(jìn)一步擴(kuò)大圍海造陸工程,在海堤的另一側(cè)選取點(diǎn)
,修建海堤
,
圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤
與
的長度之和為10千米時(shí),求四邊形
面積的最大值.
【答案】(1)當(dāng),
兩點(diǎn)距離
點(diǎn)都為
千米時(shí),最大面積為
(平方千米);
(2)四邊形面積的最大值為
(平方千米).
【解析】
(1)設(shè),
,由余弦定理得:
,
因?yàn)?/span>,即
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取得等號(hào);
(2)要求四邊形面積的最大值,只需求
面積的最大值.在
中,
,所以點(diǎn)
的軌跡是以
,
為焦點(diǎn),長軸長10的橢圓(夾在兩海岸線
,
區(qū)域內(nèi)的曲線),根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),求出
點(diǎn)到
距離的最大值即可得到最大面積.
(1)設(shè),
,(單位:千米)
在中,由余弦定理得:
,
因?yàn)?/span>,
,
,
,
所以,,
故,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取得等號(hào),
此時(shí),(平方千米).
所以,當(dāng),
兩點(diǎn)距離
點(diǎn)都為
千米時(shí),
的面積最大,最大面積為
(平方千米).
(2)由(1)知,要求四邊形面積的最大值,只需求
面積的最大值.
在中,
,所以點(diǎn)
的軌跡是以
,
為焦點(diǎn),長軸長10的橢圓(夾在兩海岸線
,
區(qū)域內(nèi)的曲線),
以所在直線為
軸,
的垂直平分線為
軸建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)點(diǎn)所在的橢圓方程為
,焦距為
,
由,
得:
,
所以點(diǎn)所在的橢圓方程為
.
設(shè),則
,因?yàn)?/span>
,
所以(平方千米),當(dāng)且僅當(dāng)
(千米)時(shí)取得等號(hào).
所以,四邊形面積的最大值為
(平方千米).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列判斷:
①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;
④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值;
⑤當(dāng)x=時(shí),函數(shù)y=f(x)有極大值.
則上述判斷中正確的是( )
A. ①② B. ②③
C. ③④⑤ D. ③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實(shí)數(shù)使得
則稱
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn).
(1)求證:的充要條件是存在
使得
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn);
(2)若實(shí)數(shù)滿足:
求證:存在
,使得
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn);
(3)給定實(shí)數(shù),若對(duì)于任意區(qū)間
,
是區(qū)間的
一內(nèi)點(diǎn),
是區(qū)間的
一內(nèi)點(diǎn),且不等式
和不等式
對(duì)于任意
都恒成立,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.的圖像關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱B.
的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱
C.的最大值為
D.
是周期函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
(1)存在實(shí)數(shù)使
;
(2)直線是函數(shù)
圖象的一條對(duì)稱軸;
(3)(
)的值域是
;
(4)若,
都是第一象限角,且
,則
.
其中正確命題的序號(hào)為( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的極坐標(biāo)方程;
(2)將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來的
倍,得到曲線
,若
與
的交點(diǎn)為
(異于坐標(biāo)原點(diǎn)
),
與
的交點(diǎn)為
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在常數(shù) k(k∈N * , k≥2)、d、t( d , t∈R),使得無窮數(shù)列 {a n }滿足a n +1,則稱數(shù)列{an }為“段差比數(shù)列”,其中常數(shù) k、d、t 分別叫做段長、段差、段比.設(shè)數(shù)列 {bn }為“段差比數(shù)列”.
(1)已知 {bn }的首項(xiàng)、段長、段差、段比分別為1、 2 、 d 、 t .若 {bn }是等比數(shù)列,求 d 、 t 的值;
(2)已知 {bn }的首項(xiàng)、段長、段差、段比分別為1、3 、3 、1,其前 3n 項(xiàng)和為 S3n .若不等式 S3n≤ λ 3n1對(duì) n ∈ N *恒成立,求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍;
(3)是否存在首項(xiàng)為 b,段差為 d(d ≠ 0 )的“段差比數(shù)列” {bn },對(duì)任意正整數(shù) n 都有 bn+6 = bn ,若存在, 寫出所有滿足條件的 {bn }的段長 k 和段比 t 組成的有序數(shù)組 (k, t );若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2,則稱這個(gè)數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”,且
,
,
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”,且其前
項(xiàng)和
滿足
?若存在,請(qǐng)求出
的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且
為“阿當(dāng)數(shù)列”,
,
,當(dāng)數(shù)列
不是“阿當(dāng)數(shù)列”時(shí),試判斷數(shù)列
是否為“阿當(dāng)數(shù)列”,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)
同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①對(duì)任意的
恒有
成立;②當(dāng)
時(shí),
.記函數(shù)
,若函數(shù)
恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A.B.
C.
D.
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