Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，
求：（1）直線A₁D與平面EFD₁B₁所成角的大小；（2）二面角B-B₁E-F的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為2，建立空間直角坐標系，求出平面EFD₁B₁  的一個法向量，再求線A₁D 的一個方向向量，進而利用夾角公式求解；
（2）因為平面BB₁E 垂直于y 軸，所以可求平面BB₁E 的一個法向量，進而利用夾角公式求解，需主要判斷夾角是鈍角還是銳角；
解答：解：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為2，建立空間直角坐標系，A₁（2，0，0），D（0，0，2），D₁（0，0，0），B₁（2，2，0），F(xiàn)（0，1，2），于是．
（1）設是平面EFD₁B₁  的一個法向量，
∵，
∴，
解得．取v=-2，
∴．
由 知直線A₁D 的一個方向向量為 ．
設直線A₁D 與平面EFD₁B₁ 所成角為θ， 與 所成角為ϕ，則，
因，即直線A₁D 與平面EFD₁B₁ 所成角為．
（2）因為平面BB₁E 垂直于y 軸，所以平面BB₁E 的一個法向量為，
設 與 的夾角為ϕ，則，
結(jié)合圖可判斷所求二面角B-B₁E-F 是鈍角，大小為．
點評：本題的考點是用空間向量求平面的夾角．解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進而得到線面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系，也有利于建立坐標系，利用向量解決空間角、空間距離等問題．