Question

【題目】已知函數f（x）＝[x2﹣（a+4）x+3a+4]ex，

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）求證不等式（x3﹣6x2+10x）ex＞10（lnx+1）成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求導，討論a與2的大小關系，解導不等式，得出結論；

（2）根據題意，當a＝2時，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，故原不等式可化為f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），求出f（x）和g（x）的值域，比較即可．

（1）f'（x）＝ex（x﹣a）（x﹣2），x∈R，

當a＜2時，當x∈（﹣∞，a]，（2，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（a，2）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；

當a＞2時，當x∈（﹣∞，2]，（a，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（2，a）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；

當a＝2時，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增；

（2）當a＝2時，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，

故原不等式可化為f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），

由（1）知，函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，故當x＞0時，f（x）＞f（0）＝10，

對于g（x）＝10（），g'（x），

當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，g（x）遞增；當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）遞減；

故g（x）的最大值為g（1）＝10，

故f（x）＞g（x）成立，

原命題得證.