Question

若x，y∈R+，(x+y)≥t(x+2

2xy

)恒成立，則t的范圍是

{t|t≤

1

2

}

．

Answer 1

分析：由x，y∈R+，(x+y)≥t(x+2

2xy

)恒成立，可得t≤

x+y

x+2 2xy

；求

x+y

x+2 2xy

的最小值，令t小于最小值即可．

解答：解：∵x，y∈R+，(x+y)≥t(x+2

2xy

)恒成立，
∴t≤

x+y

x+2 2xy

；
又∵

x+y

x+2 2xy

=

1+ y x

1+2 2 y x

，設(shè)

y x

=m，則函數(shù)n=

1+m2

1+2 2 m

（其中m＞0）；
∴導(dǎo)函數(shù)n′=

2m(1+2 2 m)-2 2 (1+m2)

(1+2 2 m)2

=

2 2 m2+2m-2 2

(1+2 2 m)2

，
令n′=0，則2

2

m²+2m-2

2

=0，解得，m=

2

2

或m=-

2

（舍去）；
∴當(dāng)m∈（0，

2

2

）時(shí)，n′＜0，函數(shù)n單調(diào)遞減；當(dāng)m∈（

2

2

，+∞）時(shí)，n′＞0，函數(shù)n單調(diào)遞增；
∴當(dāng)m=

2

2

時(shí)，函數(shù)n有最小值n_min=

1

2

；
∴t≤n_min=

1

2

；
∴t的取值范圍是：{t|t≤

1

2

}．
故答案為：：{t|t≤

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是靈活變形，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的增減性并求最值，是易錯(cuò)題．