已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)是橢圓C的兩個焦點,過F1的直線與橢圓C的兩個交點為M,N,且|MN|的最小值為6.
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)A,B為橢圓C的長軸頂點.當(dāng)|MN|取最小值時,求∠AMB的大�。�
解:(Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80156.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80157.png)
=1(a>b>0),其中c=2,a
2-b
2=4.
設(shè)M(x
1,y
1),N(x
2,y
2).
若直線MN⊥x軸,則MN的方程為x=-2,代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80156.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80157.png)
=1,得y
2=b
2(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535291.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535292.png)
,
∴|y
1-y
2|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535293.png)
,即|AB|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535294.png)
.
若直線MN不與x軸垂直,則設(shè)MN的方程為y=k(x+2),代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80156.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80157.png)
=1,
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80156.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535295.png)
=1,
即 (a
2k
2+b
2)x
2+4a
2k
2x+a
2(4k
2-b
2)=0.
△=(4a
2k
2)
2-4(a
2k
2+b
2)a
2(4k
2-b
2)
=4a
2b
2[(a
2-4)k
2+b
2]=4a
2b
4(1+k
2),
∴|x
1-x
2|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535296.png)
,
∴|MN|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535296.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261674.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535297.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535294.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535298.png)
>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535294.png)
.
綜上,|MN|的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535294.png)
.
由題知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535294.png)
=6,即 b
2=3a.
代入a
2-b
2=4,得a
2-3a-4=0,
解得a=-1(舍),或a=4.∴b
2=12.
∴橢圓C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/35699.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535299.png)
=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-4,0),B(4,0).
當(dāng)|MN|取得最小值時,MN⊥x軸.
根據(jù)橢圓的對稱性,不妨取M(-2,3),
∠AMB即直線AM到直線MB的角.
∵AM的斜率k
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535300.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,
BM的斜率k
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535301.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
∴tan∠AMB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535302.png)
=-8.
∵∠AMB∈(0,π),
∴∠AMB=π-arctan8.
分析:(Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80156.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80157.png)
=1(a>b>0),其中c=2,a
2-b
2=4.設(shè)M(x
1,y
1),N(x
2,y
2).若直線MN⊥x軸,則MN的方程為x=-2,由此能夠求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由A(-4,0),B(4,0).當(dāng)|MN|取得最小值時,MN⊥x軸.根據(jù)橢圓的對稱性,取M(-2,3),∠AMB即直線AM到直線MB的角.由此能夠求出∠AMB的大�。�
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.