Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA=10，PB=5．求：
（Ⅰ）⊙O的半徑；
（Ⅱ）sin∠BAP的值．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,弦切角

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用切割線定理，求出BC，即可求出⊙O的半徑；
（Ⅱ）證明△PAB∽△PCA，求出AB，BC，即可sin∠BAP的值．

解答： 解：（Ⅰ）因為PA為⊙O的切線，所以PA²=PB•PC，
又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15      …（2分）．
因為BC為⊙O的直徑，所以⊙O的半徑為7.5．…（4分）
（Ⅱ）∵PA為⊙O的切線，∴∠ACB=∠PAB，…（5分）
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PB

PA

=

5

10

=

1

2

…（7分）
設AB=k，AC=2k，
∵BC為⊙O的直徑，
∴AB⊥AC，
∴BC=

k2+(2k)2

=

5

k…（8分）
∴sin∠BAP=sin∠ACB=

AB

BC

=

k

5 k

=

5

5

…（10分）

點評：本題考查了切割線定理，考查三角形相似的判斷與性質(zhì)的運用，解題的關鍵是運用切割線定理列方程求解．