已知在四棱錐中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,
、
分別是線段
、
的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)判斷并說明上是否存在點(diǎn)
,使得
∥平面
;
(3)若與平面
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
(1)見解析 (Ⅱ) (Ⅲ)
.
【解析】解法一(向量法)
(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,分別求出直線PF與FD的平行向量,然后根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0,得到PF⊥FD;
(2)求出平面PFD的法向量(含參數(shù)t),及EG的方向向量,進(jìn)而根據(jù)線面平行,則兩個垂直數(shù)量積為0,構(gòu)造方程求出t值,得到G點(diǎn)位置;
(3)由是平面PAD的法向量,根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°,求出平面PFD的法向量,代入向量夾角公式,可得答案.
解法二(幾何法)
(I)連接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA,再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD;
(Ⅱ)過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H,則EH∥平面PFD,且有AH=AD,再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G,則HG∥平面PFD且AG=
AP,由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD,進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD.從而確定G點(diǎn)位置;
(Ⅲ)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中點(diǎn)M,則FM⊥AD,F(xiàn)M⊥平面PAD,在平面PAD中,過M作MN⊥PD于N,連接FN,則PD⊥平面FMN,則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角,解三角形MNF可得答案.
解法一:(Ⅰ)∵ 平面
,
,
,
,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
則.…………2分
不妨令∵
,
∴,
即.…………………………4分
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為
,
由,得
,令
,解得:
.∴
.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
,
,則
,
要使∥平面
,只需
,即
,
得,從而滿足
的點(diǎn)
即為所求.………………8分
(Ⅲ)∵,∴
是平面
的法向量,易得
,
又∵平面
,∴
是
與平面
所成的角,
得,
,平面
的法向量為
……10分
∴,
故所求二面角的余弦值為
.………12分
解法二:(Ⅰ)證明:連接,則
,
,
又,∴
,∴
……2分
又,∴
,又
,
∴ ……4分
(Ⅱ)過點(diǎn)作
交
于點(diǎn)
,則
∥平面
,且有
…5分
再過點(diǎn)作
∥
交
于點(diǎn)
,則
∥平面
且
,
∴ 平面∥平面
…………………7分∴
∥平面
.
從而滿足的點(diǎn)
即為所求. …………………………8分
(Ⅲ)∵平面
,∴
是
與平面
所成的角,且
.
∴ 取
的中點(diǎn)
,則
,
平面
,在平面
中,過
作
,連接
,則
,則
即為二面角
的平面角……10分
∵∽
,∴
,∵
,且
∴
,
,∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆云南省高二上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知在四棱錐中,底面
是矩形,
平面
,
、
分別是
、
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)若與平面
所成角為
,且
,求點(diǎn)
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆河南省方城一高高三第一次調(diào)研(月考)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知在四棱錐中,底面
是矩形,
平面
,
,
,
分別是
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年貴州省六高三第一次考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,已知在四棱錐
中,底面
是矩形,
平面
,
,
,
是
的中點(diǎn),
是線段
上的點(diǎn).
(I)當(dāng)是
的中點(diǎn)時,求證:
平面
;
(II)要使二面角的大小為
,試確定
點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬沖刺考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分l2分)已知在四棱錐中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,
、
分別是線段
、
的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)判斷并說明上是否存在點(diǎn)
,使得
∥平面
;
(3)若與平面
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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