Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x-3）²+（y-4）²=1，圓C₂：（x+1）²+y²=1．
（1）求過(guò)點(diǎn)A（4，6）的圓C₁的切線l的方程；
（2）已知圓C₃：（x+1）²+y²=9，動(dòng)圓M半徑為1，圓心M在圓C₃上移動(dòng)，過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P作圓C₂的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求

C1E

•

C1F

的取值范圍；
（3）若動(dòng)圓Q同時(shí)平分圓C₁的周長(zhǎng)、圓C₂的周長(zhǎng)，求圓心Q的軌跡方程，并判斷
動(dòng)圓Q是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（4，6）的圓的切線方程為kx-y-4k+6=0，圓心C₁（3，4）到切線kx-y-4k+6=0的距離d=

|3k-4-4k+6|

k2+1

=1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，切線為x=4，由此能求出切線方程．
（2）動(dòng)圓M是圓心在定圓（x+1）²+y²=9上移動(dòng)，半徑為1的圓，由圓的幾何性質(zhì)得，|MC₁|-r≤|PC₁|≤|MC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC₁|²≤16，利用向量的數(shù)量積公式，即可求

C1E

•

C1F

的取值范圍；
（3）確定動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)，求出動(dòng)圓C的方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C₁：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C₁（3，4），半徑r₁=1，
∵A（4，6），∴|AC₁|=

(4-3)2+(6-4)2

=

5

＞r₁，
∴點(diǎn)A（4，6）是圓C₁外上點(diǎn)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)A（4，6）的圓的切線方程為y-6=k（x-4），即kx-y-4k+6=0，
圓心C₁（3，4）到切線kx-y-4k+6=0的距離d=

|3k-4-4k+6|

k2+1

=1，
解得k=

3

4

，∴切線方程為

3

4

x-y-3+6=0，整理，得3x-4y+12=0．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，切線為x=4，滿足條件，
∴過(guò)點(diǎn)A（4，6）的圓C₁的切線l的方程3x-4y+12=0或x=4．
（2）動(dòng)圓M是圓心在定圓（x+1）²+y²=9上移動(dòng)，半徑為1的圓，
設(shè)∠EC₁F=2α，則在Rt△PC₁E中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，
有cos2α=2cos²α-1=

2

|PC1|2

-1，
則

C1E

•

C1F

=|

C1E

|•|

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1，
由圓的幾何性質(zhì)得，|MC₁|-r≤|PC₁|≤|MC₁|+r，
即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC₁|²≤16，
∴

C1E

•

C1F

的最大值為-

1

2

，最小值為-

7

8

．
故

C2E

•

C2F

∈[-

7

8

，-

1

2

]．
（3）設(shè)圓心C（x，y），由題意，得CC₁=CC₂，
即

(x-3)2+(y-4)2

=

(x+1)2+y2

．
化簡(jiǎn)得x+y-3=0，即動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)C（m.3-m），則動(dòng)圓C的半徑為

1+CC12

=

1+(m+1)2+(3-m)2

．
于是動(dòng)圓C的方程為（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²．
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

，得

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

，或

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

，
∴圓心Q的軌跡方程x+y-3=0
定點(diǎn)坐標(biāo)為（1-

3

2

2

，2-

3

2

2

），（1+

3

2

2

，2+

3

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．