Question

中心是原點O，它的虛軸長為，相應于焦點F(c，0)(c＞0)的準線l與x軸交于點A，且OF＝3OA．過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點．

(1)求雙曲線的方程及離心率；

(2)若＝0，求直線PQ的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意，設曲線的方程為＝1(a＞0，b＞0) 　　由已知解得a＝，c＝3，所以雙曲線的方程這＝1，離心率e＝； 　　(2)由(1)知A(1，0)，F(3，0)，當直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x＝3，此時，≠0，應舍去． 　　當直線PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為 　　y＝k(x－3)， 　　由方程組＝1y＝k(x－3)得，(k2－2)x2－6k2x＋9k2＋6＝0，由一過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則k2－2≠0，即k≠±， 　　由于Δ＝36k4－4(k2－2)(9k2＋6)＝48(k2＋1)＞0恒成立，所以k≠±(*)． 　　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 　　由直線PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)，于是y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]　　(3) 　　由得，(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝0　　(4) 　　由(1)、(2)、(3)、(4)得＋1＋k2()＝0，整理得k2＝，k＝±滿足(*)， 　　∴直線PQ的方程為x－－3＝0或x＋－3＝0． 　　分析：對于第一問，由題意先判定所求的雙曲線方程標準形式，結合題意確定雙曲線方程；對于第二問，涉及直線與雙曲線的交點問題，在考慮過程中應當全面地考慮，相應的直線的可能情形，將相應的直線方程假設出來，從而由直線和雙曲線的方程所組成的方程組消去一個未知數，轉化為根與系數間的關系問題，再結合已知條件將問題解決．