Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圓周上不同于A、B的點．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）過A作AD⊥PC（D為垂足），過D作DE⊥PB（E為垂足），求證：PB⊥平面ADE．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，結合AC⊥BC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC；
（II）由BC⊥平面PAC得BC⊥AD，結合AD⊥PC得出AD⊥平面PBC，于是AD⊥PB，結合PB⊥DE得出PB⊥平面ADE．

解答 證明：（I）∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（II）由（I）可知BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，
又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，又PB?平面PBC，
∴AD⊥PB，
又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，
∴PB⊥平面ADE．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，屬于中檔題．