Question

如果橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上任意兩點連線的垂直平分線與x軸相交于點P（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對直線AB的斜率分類討論，當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點坐標(biāo)公式即可得出線段AB的中點，進(jìn)而得出垂直平分線的方程，即可得出．

解答： 解：設(shè)橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上任意兩點為A，B，則
①當(dāng)AB∥x軸或與x軸重合時，此時k_AB=0，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（0，0）；
②當(dāng)AB⊥x軸時，此時線段AB的垂直平分線為x軸，此時不符合題意，應(yīng)舍去；
③當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∵△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）＞0，化為-m²+4+16k²＞0（*）．
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

．
設(shè)線段AB的中點為M（x_M，y_M）．則x_M=-

4km

1+4k2

，y_M=kx_M+m=

m

1+4k2

．
線段AB的垂直平分線的方程為y=-

1

k

（x-x₀），
把點M的坐標(biāo)代入可得

m

1+4k2

=-

1

k

（-

4km

1+4k2

-x₀），
∴m=-

x0(1+4k2)

3k

，代入（*）得x02＜

36k2

1+4k2

．
令f（k）=

36k2

1+4k2

=

36

1 k2 +4

，則0＜f（k）＜9
∴x02＜9．
∴-3＜x₀＜3．
綜上可知：x₀的取值范圍是（-3，3）．

點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、垂直平分線的性質(zhì)、點到直線的距離公式等是解題的關(guān)鍵．