【題目】已知函數,
.
(1)求函數的單調區(qū)間和函數
的最值;
(2)已知關于的不等式
對任意的
恒成立,求實數
的取值范圍.
【答案】(1)答案不唯一,見解析;(2)
【解析】
(1)求導后,分和
兩種情況考慮
的單調性;利用導數求
的極值即可;
(2)對任意的
恒成立,等價于
對任意的
恒成立,設
,利用導數研究
的單調性以及最值,從而可得到結論.
(1)因為,∴
.
當,即
時,
恒成立,
在區(qū)間
上單調遞增.
當,即
時,令
,則
或
,
單調遞增;令
,則
,
單調遞減.
綜上,當時,
的單調遞增區(qū)間為
;當
時,
的單調遞增區(qū)間為
,
,單調遞減區(qū)間為
;
因為,(
)
所以,所以當
時,
,
單調遞增,
當時,
,
單調遞減,所以
,無最大值.
(2)對任意的
恒成立,
即對任意的
恒成立.
令,
,則
.
當時,因為
,所以
,所以
,
在區(qū)間
上單調遞減.所以
,符合題意.
當時,令
,得
,令
,得
,
所以在區(qū)間
上單調遞減,在區(qū)間
上單調遞增,
所以
由(1)知,即
在
上恒成立,不符合題意.
綜上,實數的取值范圍為
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)在“精準扶貧”行動中,決定幫助一貧困山區(qū)將水果運出銷售.現有8輛甲型車和4輛乙型車,甲型車每次最多能運6噸且每天能運4次,乙型車每次最多能運10噸且每天能運3次,甲型車每天費用320元,乙型車每天費用504元.若需要一天內把180噸水果運輸到火車站,則通過合理調配車輛運送這批水果的費用最少為______元.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知等差數列的首項為
,公差為
,等比數列
的首項為
,公比為
,其中
,且
.
(1)求證:,并由
推導
的值;
(2)若數列共有
項,前
項的和為
,其后的
項的和為
,再其后的
項的和為
,求
的比值.
(3)若數列的前
項,前
項、前
項的和分別為
,試用含字母
的式子來表示
(即
,且不含字母
)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義符號函數,已知函數
.
(1)已知,求實數
的取值集合;
(2)當時,
在區(qū)間
上有唯一零點,求
的取值集合;
(3)已知在
上的最小值為
,求正實數
的取值集合;
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設點,
分別是橢圓
:
的左、右焦點,且橢圓
上的點到點
的距離的最小值為
.點M、N是橢圓
上位于
軸上方的兩點,且向量
與向量
平行.
(1)求橢圓的方程;
(2)當時,求△
的面積;
(3)當時,求直線
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】孔子曰:溫故而知新.數學學科的學習也是如此.為了調查數學成績與及時復習之間的關系,某校志愿者展開了積極的調查活動:從高三年級640名學生中按系統(tǒng)抽樣抽取40名學生進行問卷調查,所得信息如下:
數學成績優(yōu)秀(人數) | 數學成績合格(人數) | |
及時復習(人數) | 20 | 4 |
不及時復習(人數) | 10 | 6 |
(1)張軍是640名學生中的一名,他被抽中進行問卷調查的概率是多少(用分數作答);
(2)根據以上數據,運用獨立性檢驗的基本思想,研究數學成績與及時復習的相關性.
參考公式:,其中
為樣本容量
臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點是拋物線
的焦點,直線
與
相交于不同的兩點
.
(1)求的方程;
(2)若直線經過點
,求
的面積的最小值(
為坐標原點);
(3)已知點,直線
經過點
,
為線段
的中點,求證:
.
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