Question

已知冪函數(shù)f（x）=（m²-2m-2）x^m-1為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)F（x）=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)建立條件關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義討論a，b的取值，即可得到函數(shù)F（x）=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

解答： 解：（1）由f（x）為冪函數(shù)，得m²-2m-2=1，即m²-2m-3=0，解得m=-1或m=3，
∵f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)
∴m-1＜0，即m＜1，即m=-1，則f（x）=x^-2．
（2）∵F（x）=a

f(x)

-

b

xf(x)

=

a

|x|

-bx，
∴當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0，b=0，時(shí)，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；                        
當(dāng)a=b=0時(shí)，F(xiàn)（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查冪函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．