Question

二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x），若g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是5，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)其頂點(diǎn)坐標(biāo)用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式，然后根據(jù)圖象在x軸上截得線段長是8，求得圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點(diǎn)，代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）先求出函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的對(duì)稱軸，再結(jié)合函數(shù)的定義域進(jìn)行分類討論，利用g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是5，可求實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為f（x）=a（x-1）²+16．
又∵圖象在x軸上截得線段長是8，
∴圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點(diǎn)．
∴a（-3-1）²+16=0，
∴a=-1，
∴所求二次函數(shù)解析式為f（x）=-x²+2x+15
（2）g（x）=（2-2a）x-f（x）=（2-2a）x-（-x²+2x+15）=x²-2ax-15=（x-a）²+-a²-15
①a≥2時(shí)，g（x）在區(qū)間[0，2]上為單調(diào)減函數(shù)，∴x=0時(shí)，取得最大值，
∵g（0）=-15，不合題意；
②1＜a＜2時(shí)，g（x）在區(qū)間[0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，在[a，2]上為單調(diào)減函數(shù)，a-0＞2-a，
∴x=0時(shí)，取得最大值，
∵g（0）=-15，不合題意；
③0≤a≤1，時(shí)，g（x）在區(qū)間[0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，在[a，2]上為單調(diào)減函數(shù)，a-0≤2-a，
且x=2時(shí)，取得最大值，
∵g（2）=4-4a-15，∴4-4a-15=5，∴a=-4，不合題意；
④a＜0時(shí)，g（x）在區(qū)間[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，∴x=2時(shí)，取得最大值，
∵g（2）=4-4a-15，∴4-4a-15=5，∴a=-4，符合題意；
綜上知，實(shí)數(shù)a的值為-4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法假設(shè)方程，利用函數(shù)對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系，合理進(jìn)行分類討論．