【題目】設(shè)為實數(shù),已知函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)為
,且
.
(1)求的值;
(2)設(shè)為實數(shù),若對于任意
,不等式
恒成立,且存在唯一的實數(shù)
使得
成立,求
的值;
(3)是否存在負(fù)數(shù),使得
是曲線
的切線.若存在,求出
的所有值:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)求出,再由
,即可求出
值;
(2)由(1)的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè)
,即為
,通過導(dǎo)數(shù)法求出
,求出
的取值范圍,再由
唯一解,求出
的值;
(3)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為,求出切線斜率,結(jié)合已知得
,將切點坐標(biāo)代入
,整理得到關(guān)于
的方程
,轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的方程正數(shù)解的情況,即為
與直線
在第一象限交點情況,通過求導(dǎo),求出
單調(diào)區(qū)間,以及最值,即可求解.
(1)因為,
所以,
故.
(2)因為,
所以恒成立.
記,
則,
因為,且
,
所以,
因此為時,
,
單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增,
所以,即
,
當(dāng)時,
,
故方程無解,
當(dāng)時,當(dāng)
時,由單調(diào)性知
所以存在唯一的使得
,即
.
(3)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為,則
,即
,
,即
原命題等價于存在正數(shù)使得方程
成立.
記,
則,
令,則
,
因此當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增,
;
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減,
,
則.
故存在唯一的正數(shù)使得方程
成立,
即存在唯一的負(fù)數(shù),
使得是曲線
的切線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)
同時滿足以下條件:①
在
上為減函數(shù),
上是增函數(shù);②
是偶函數(shù);③
在
處的切線與直線
垂直.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),若對
,使
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的個數(shù)為( )
①“為真”是“
為真”的充分不必要條件;
②若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1,則
的平均數(shù)為2;
③在區(qū)間上隨機取一個數(shù)
,則事件“
”發(fā)生的概率為
④已知隨機變量服從正態(tài)分布
,且
,則
.
A.4B.3C.2D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段
上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于
兩點,T為C上異于
的任意一點,直線
,
分別與直線
交于
兩點,以
為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得
.設(shè)勾股形中勾股比為
,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲
顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
①已知隨機變量服從正態(tài)分布
,且
,則
;
②相關(guān)系數(shù)r用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱,越大,相關(guān)性越弱;
③相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果,
越小,說明模型的擬合效果越好;
④在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄,其模型擬合的精度就越高.
A.①②B.①④C.②③D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在
上存在一點
,使得
成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程及曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若是直線
上一點,
是曲線
上一點,求
的最大值.
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