Question

（本小題滿分1６分）已知函數(shù)，其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù)，。

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若在［－１，１］上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

 

Answer 1

【答案】

⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image001.png">，所以不等式即為，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image004.png">，所以不等式可化為，

所以不等式的解集為．………………………………………4分

⑵，

①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

取等號(hào)，故符合要求；………………………………………………………6分

②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image015.png">，

所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，

因此有極大值又有極小值．

若，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image022.png">，所以在內(nèi)有極值點(diǎn)，

故在上不單調(diào)．………………………………………………………8分

若，可知，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image026.png">的圖象開口向下，要使在上單調(diào)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image027.png">，

必須滿足即所以.

綜上可知，的取值范圍是．………………………………………10分

⑶當(dāng)時(shí), 方程即為，由于，所以不是方程的解，

所以原方程等價(jià)于，令，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503413465626734/SYS201205250344005156164043_DA.files/image037.png">對(duì)于恒成立，

所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，……………………………13分

又，，，，

所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，

所以整數(shù)的所有值為．………………………………………………………16分

【解析】略