Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），邊AC的中點為D（2，0）．
（1）若點A（2，

3

），求△ABC外接圓M的方程；
（2）若點N在（1）中所求的圓M上，求線段BN在直線l：x+y+4=0上的投影EF長的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）由于BD⊥AC，D為AC的中點，M在BD上設圓M：（x-a）²+y²=r²，代入（-1，0），（2，

3

）解出a，r即可；
（2）根據(jù)題意可求得BE的方程，設出直線NF的方程，當EF取得最大值時，直線NF與圓（x-1）²+y²=4相切．利用點到直線的距離求得b，則直線NF的方程可得．進而根據(jù)EF長的最大值是點B到NF的距離，答案可得．

解答： 解：（1）由于BD⊥AC，D為AC的中點，M在BD上
設圓M：（x-a）²+y²=r²，
則代入（-1，0），（2，

3

）得，

(-1-a)2+0=r2 (2-a)2+3=r2

解得a=1，r=2，
則△ABC外接圓M的方程為：（x-1）²+y²=4；
（2）由條件，BE⊥l，
易得BE：x-y+1=0．
設NF：x-y+b=0，
當EF取得最大值時，
直線NF與圓（x-1）²+y²=4相切．
設M（1，0），由

|1-0+b|

2

=2，得b=-1+2

2

（舍去）或b=-1-2

2

．
∴NF：x-y-1-2

2

=0．
∴EF_max等于點B到NF的距離
d=

|-1-0-2 2 -1|

2

=2+

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓的綜合問題．考查了學生運用解析幾何的知識解決問題的能力．