Question

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列說法中正確的序號是

 

．
①若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的“倍增函數(shù)”，則y=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）=2x+1是“倍增函數(shù)”，且“倍增系數(shù)”λ=1；
③函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函數(shù)”；
④函數(shù)f（x）=

e

-x

是“倍增函數(shù)”，且“倍增系數(shù)”λ∈（0，1）．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，知f（x-2）=-2f（x），由此得到y(tǒng)=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)，知①正確；
由f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故由λ=

2x

2x-1

≠1，知②不正確；
因?yàn)閒（x）=log₂x的定義域不是R可判斷③正確；
由f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，得到λ=

1

eλ

∈（0，1），知④正確．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，
∴f（x-2）=-2f（x），
當(dāng)x=0時(shí)，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一個(gè)為0，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)．
若f（0），f（-2）均不為零，則f（0），f（-2）異號，
由零點(diǎn)存在定理，在（-2，0）區(qū)間存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)，故①正確；
∵f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=

2x

2x-1

≠1，故②不正確；
∵f（x）=log₂x的定義域不是R，
∴函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函數(shù)”，故③正確；
∵f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

exeλ

=

λ

ex

，
∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意新定義的合理運(yùn)用，合理地地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．