Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)的離心率為

3

2

．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若直線(xiàn)x-y+m=0與已知橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P（0，1），且|PA|=|PB|，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率，建立方程，求出b的值，即可得到橢圓的方程；
（2）直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之間的關(guān)系，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，

4-b2

4

=

3

4

，∴b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線(xiàn)x-y+m=0與已知橢圓方程聯(lián)立，消去y可得

5

4

x2+2mx+m2-1=0
∴x₁+x₂=-

8m

5

∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

5

∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4m

5

，

m

5

）
∵R（0，1），且|RA|=|RB|，
∴

m 5 -1

- 4 5 m

×1=-1
∴m=-

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．