Question

已知函數(shù)f（x）=e^sinx+cosx-

1

2

sin2x（x∈R），則函數(shù)f（x）的最大值與最小值的差是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），則t∈[-

2

，

2

]，且sin2x=t²-1，利用導數(shù)法分析y=e^t-

1

2

（t²-1）在[-

2

，

2

]上單調性，進而可得答案．

解答： 解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），則t∈[-

2

，

2

]，
且sin2x=t²-1，
則y=f（x）=e^t-

1

2

（t²-1），
∵y′=e^t-t＞0在t∈[-

2

，

2

]時恒成立，
故y=e^t-

1

2

（t²-1）在[-

2

，

2

]上為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的最大值與最小值的差是y| t=

2

-y| t=-

2

=（e

2

-

1

2

）-（e-

2

-

1

2

）=e

2

-e-

2

，
故答案為：e

2

-e-

2

點評：本題主要考查函數(shù)求最值，常要借助函數(shù)的單調性，因為本題構成比較復雜，所以采用換元法簡化函數(shù)的解析式．