已知函數(shù)f(x)=esinx+cosx-
1
2
sin2x(x∈R),則函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是
 
考點:函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),則t∈[-
2
,
2
],且sin2x=t2-1,利用導數(shù)法分析y=et-
1
2
(t2-1)在[-
2
2
]上單調性,進而可得答案.
解答: 解:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),則t∈[-
2
,
2
],
且sin2x=t2-1,
則y=f(x)=et-
1
2
(t2-1),
∵y′=et-t>0在t∈[-
2
,
2
]時恒成立,
故y=et-
1
2
(t2-1)在[-
2
,
2
]上為增函數(shù),
故函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是y| t=
2
-y| t=-
2
=(e
2
-
1
2
)-(e-
2
-
1
2
)=e
2
-e-
2
,
故答案為:e
2
-e-
2
點評:本題主要考查函數(shù)求最值,常要借助函數(shù)的單調性,因為本題構成比較復雜,所以采用換元法簡化函數(shù)的解析式.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓方程
x2
2
+y2=1,AB為橢圓的弦,且AB=2,求AB的中點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

直線kx-y+1=0與圓(x-1)2+y2=4的位置關系是( 。
A、相交B、相切
C、相離D、不確定,與k有關

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有下列命題
①函數(shù)y=cos(x+
π
2
)是偶函數(shù);
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=
2
,k∈Z}
③直線x=
π
8
是函數(shù)y=sin(2x+
π
4
)圖象的一條對稱軸;
④函數(shù)y=sin(x+
π
6
)在(-
π
2
,
π
3
)上是單調增函數(shù);
⑤點(
π
6
,0)是函數(shù)y=tan(x+
π
3
)圖象的對稱中心.
⑥若f(sinx)=cos6x,則f(cos15°)=0;
其中正確命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

滿足{1}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的個數(shù)為( 。
A、4B、6C、8D、16

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)y=log
1
9
2x+3
4x+7
,x∈[-1,1]的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在透明材料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌注一些水,固定容器底面一邊BC于桌面上,再將容器傾斜根據(jù)傾斜度的不同,有下列命題:
(1)水的部分始終呈棱柱形;
(2)水面四邊形EFGH的面積不會改變;
(3)棱A1D1始終與水面EFGH平行;
(4)當容器傾斜如圖所示時,BE•BF是定值.
其中所有正確命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=lg
2x-1
x2-1
的定義域是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
在點P(1,1)處的切線與x軸交于點Q1,過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1,曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2,過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2,…,依次得到一系列點P1、P2、…、Pn,設點Pn的坐標為(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(Ⅱ)求證:三角形PnPn+1Pn+2的面積為定值.

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