設(shè)函數(shù)的圖象與直線
相切于
.
(1)求在區(qū)間
上的最大值與最小值;
(2)是否存在兩個不等正數(shù),當(dāng)
時,函數(shù)
的值域也是
,若存在,求出所有這樣的正數(shù)
;若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)存在兩個不等正數(shù),當(dāng)
時,函數(shù)
的值域是
,求正數(shù)
的取值范圍.
解:(Ⅰ)。依題意則有:
,所以
,解得
,所以
;
,由
可得
或
。
在區(qū)間
上的變化情況為:
| 0 | | 1 | | 3 | | 4 |
| + | 0 | — | 0 | + | ||
| 0 | 增函數(shù) | 4 | 減函數(shù) | 0 | 增函數(shù) | 4 |
所以函數(shù)在區(qū)間
上的最大值是4,最小值是0。
(Ⅱ)由函數(shù)的定義域是正數(shù)知,,故極值點(diǎn)
不在區(qū)間
上;
(1)若極值點(diǎn)在區(qū)間
,此時
,在此區(qū)間上
的最大值是4,不可能等于
;故在區(qū)間
上沒有極值點(diǎn);
(2)若在
上單調(diào)增,即
或
,
則,即
,解得
不合要求;
(3)若在
上單調(diào)減,即
,則
,
兩式相減并除得:
, ①
兩式相除并開方可得,
即,整理并除以
得:
, ②
代入①有,與
矛盾。
(Ⅲ)同(Ⅱ),極值點(diǎn)不可能在區(qū)間
上;
(1)若極值點(diǎn)在區(qū)間
,此時
,
故有①或②
①由,
知,
,當(dāng)且僅當(dāng)
時,
;
再由,
知,
,當(dāng)且僅當(dāng)
時,
由于,故不存在滿足要求的
值。
②由,及
可解得
,
所以,
知,
;
即當(dāng)時,存在
,
,
且,滿足要求。
(2)若函數(shù)在區(qū)間
單調(diào)遞增,則
或
,
且,故
是方程
的兩根,
由于此方程兩根之和為3,故不可能同在一個單調(diào)增區(qū)間;
(3)若函數(shù)在區(qū)間
單調(diào)遞減,則
,
,
兩式相除并整理得,由
知
,
即,
再將兩式相減并除以得,
,
即,所以
是方程
的兩根,令
,
則,解得
,
即存在,
滿足要求。
綜上可得,當(dāng)時,存在兩個不等正數(shù)
,使
時,
函數(shù)的值域恰好是
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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