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已知函數f(x)=
1
2
x2+lnx+(a-4)x
在(1,+∞)上是增函數.
(1)求實數a的取值范圍;
(2)在(1)的結論下,設g(x)=|ex-a|+
a2
2
,x∈[0,ln3]
,求函數g(x)的最小值.
分析:(1)知道函數是增函數,求參數范圍,轉化為導函數大于等于0恒成立,用分離參數求最值解決.
(2)為含有參數的絕對值函數的最值問題,關鍵是去絕對值,需考慮ex-a的正負問題,進行討論.
去絕對值后轉化為關于t的一次函數,利用單調性求最值即可.
解答:解:(1)f′(x)=x+
1
x
+a-4
,
∵f(x)在[1,+∞)上是增函數,
∴f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立.
a≥4-(x+
1
x
)
恒成立,
x+
1
x
≥2
,當且僅當x=1時取等號,
4-(x+
1
x
)<2
,∴a≥2;
(2)設t=ex,則h(t)=|t-a|+
a2
2
,
∵0≤x≤ln3,∴1≤t≤3.
當2≤a≤3時,h(t)=
-t+a+
a2
2
,1≤t<a
t-a+
a2
2
,a≤t≤3
,
∴h(t)的最小值為h(a)=
a2
2

當a>3時,h(t)=-t+a+
a2
2
,
∴h(t)的最小值為h(3)=a-3+
a2
2

綜上所述,當2≤a≤3時,g(x)的最小值為
a2
2
,
當a>3時,g(x)的最小值為a-3+
a2
2
點評:本題考查已知函數單調性求參數范圍、求函數的最值、分類討論思想等,綜合性較強.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(1)、已知函數f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數a的取值范圍是( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數,請說明理由;
(2)若函數f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數,求m的取值范圍.

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