已知定義域為R的函數(shù)f（x）=
2x-1
a+2x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；并用定義證明你的結(jié)論．
考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）由定義域為R的函數(shù)f（x）=
2x-1
a+2x+1
是奇函數(shù)．可得f（x）+f（-x）=0，即可解得a．
（2）由（1）可得：f（x）=
2x-1
2+2x+1
=
1
2
-
1
2x+1
．利用函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，可得函數(shù)y=
1
2x+1
在R上單調(diào)遞減，可得函數(shù)y=-
1
2x+1
在R上單調(diào)遞增，即可得出．
解答： 解：（1）定義域為R的函數(shù)f（x）=
2x-1
a+2x+1
是奇函數(shù)．
∴f（x）+f（-x）=
2x-1
a+2x+1
+
2-x-1
a+2-x+1
=0，解得a=2．
（2）由（1）可得：f（x）=
2x-1
2+2x+1
=
1
2
-
1
2x+1
．
∵函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y=
1
2x+1
在R上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y=-
1
2x+1
在R上單調(diào)遞增，
因此f（x）=
2x-1
2+2x+1
=
1
2
-
1
2x+1
在R上單調(diào)遞增．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：
x
4
+
y
3
=1，M是l上一動點，過M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，求在A、B連線上，且滿足
AP
=2
PB
的點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1）且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-mx，若F（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為h（k），求h（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
sin(
5π
2
+x)
cos(x-
π
2
)
•sin（x+π）•cos（π-x）．
（Ⅰ）當(dāng)tan（π+x）=-2時，求f（x）的值；
（Ⅱ）指出f（x）的最大值與最小值，并分別寫出使f（x）取得最大值、最小值的自變量x的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=（log0.25x）2-log0.25x2+5在x∈[2，4]上的最值．

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如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，角平分線AD=2cm，求此三角形面積．

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寫出判斷輸入數(shù)x，若x是正數(shù)，輸出它的平方，若不是，輸出它的相反數(shù)的程序．

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數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為3且a1+a2+a3=15，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，b1=1，bn+1=2Sn+1，（n∈N+）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式
（3）設(shè)cn=anbn，求{cn}的前n項和Tn．

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設(shè)a，b為正數(shù)，且a2-2ab-9b2=0，則lg（a2+ab-6b2）-lg（a2+4ab+15b2）的值為
 
．

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