Question

已知等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n且a₂+a₃=10，S₆=42
（1）求{a_n}通項公式．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，且

1

bn

=a₁+a₂+…a_n，若T_n＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂+a₃=10，S₆=42可求得

a1=2 d=2

，從而可得{a_n}通項公式．
（2）易求

1

bn

=a₁+a₂+…a_n=

(2+2n)n

2

=n（n+1），取倒數(shù)后，利用裂項法可得b_n=

1

n(n+1)

=（

1

n

-

1

n+1

），于是可求得T_n=b₁+b₂+…b_n=1-

1

n+1

，繼而可得答案．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則

2a1+3d=10 6a1+ 6×5 2 d=42

，解得

a1=2 d=2

，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）由（1）知a_n=2n，
所以，

1

bn

=a₁+a₂+…a_n=

(2+2n)n

2

=n（n+1），
所以，b_n=

1

n(n+1)

=（

1

n

-

1

n+1

），
所以，T_n=b₁+b₂+…b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

，
因為T_n＜m恒成立，所以m＞（T_n）_max，
又T_n=1-

1

n+1

為減函數(shù)，

lim

n→∞

T_n=1，
所以，m≥1，即m的最小值為1．

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，突出考查方程思想等價轉(zhuǎn)化思想及極限思想的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性及恒成立問題，屬于難題．