Question

(重慶五校模擬)已知函數(shù)滿足，a≠0，f(1)=1；且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列滿足，，，，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：，．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由，，a≠0， 得．(1分) 由f(1)=1， 得a=2b＋1．　　　　(2分) 由f(x)=2x只有一解，即，也就是只有一解， ∴， ∴b=－1．　　　　　　　　(3分) ∴a=－1．故．　　(4分) (2)∵，， ∴，， ，　　　(5分) 猜想，．　　(6分) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊， ∴命題成立．　　(7分) ②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即； 當(dāng)n=k＋1時(shí)，， ∴當(dāng)n=k＋1時(shí)，命題成立．　　　(8分) 由①，②可得，當(dāng)時(shí)，有． ∵， ∴， ∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．(9分) (3)∵， ∴　　　　　(10分) 　　　　　(12分)