如圖,已知四棱錐,底面
為菱形,
平面
,
,
分別是
的中點.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若為
上的動點,
與平面
所成最大角的正切值為
,求二面角
的余弦值.
解:(Ⅰ)證明:由四邊形為菱形,
,可得
為正三角形.
因為為
的中點,所以
.
又,因此
.
因為平面
,
平面
,所以
.
而平面
,
平面
且
,
所以平面
.又
平面
,
所以.
(Ⅱ)解:設,
為
上任意一點,連接
.
由(Ⅰ)知
平面
,
則為
與平面
所成的角.
在中,
,
所以當最短時,
最大,
即當時,
最大.
此時,
因此.又
,所以
,
所以.
解法一:因為平面
,
平面
,
所以平面平面
.
過作
于
,則
平面
,
過作
于
,連接
,則
為二面角
的平面角,
在中,
,
,
又是
的中點,在
中,
,
又,
在中,
,
即所求二面角的余弦值為.
解法二:由(Ⅰ)知兩兩垂直,以
為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,又
分別為
的中點,所以
,
,
所以.
設平面的一法向量為
,
則因此
取,則
,
因為,
,
,
所以平面
,
故為平面
的一法向量.
又,
所以.
因為二面角為銳角,
所以所求二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設定義在上的函數(shù)
同時滿足以下條件:①
對任意的
都成立;② 當
時,
(其中
…是自然對數(shù)的底數(shù),
是常數(shù)).記
在區(qū)間
上的零點個數(shù)為
,則
(A) (B)
(C) (D)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設是一條直線,
,
,
是不同的平面,則下列說法不正確的是
(A)如果,那么
內(nèi)一定存在直線平行于
(B)如果不垂直于
,那么
內(nèi)一定不存在直線垂直于
(C)如果,
,
,那么
(D)如果,
與
,
都相交,那么
與
,
所成的角互余
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