Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m．
（1）當直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）求被橢圓截得的最長弦所在直線方程．

Answer 1

解：（1）由得5x²+2mx+m²-1=0，
當直線與橢圓有公共點時，△=4m²-4×5（m²-1）≥0，即-4m²+5≥0，
解得-，
所以實數(shù)m的取值范圍是-；
（2）設所截弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，，，
所以弦長|AB|===•=，
當m=0時|AB|最大，此時所求直線方程為y=x．
分析：（1）當直線與橢圓有公共點時，直線方程與橢圓方程構成的方程組有解，等價于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）設所截弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）及韋達定理可把弦長|AB|表示為關于m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)表達式易求弦長最大時m的值；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查函數(shù)與方程思想，弦長公式、韋達定理是解決該類題目的基礎知識，應熟練掌握．