Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

ex

+3，g（x）=-2x²+ax-lnx（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）在區(qū)間（

1

4

，2）上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，e），都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得f（x）=g（x₀）+2x₀²成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)g（x）在區(qū)間（

1

4

，2）上不單調(diào)且g′(x)=

-4x2+ax-1

x

知，-4x²+ax-1=0區(qū)間(

1

4

，2)上有兩不等實根或有一根，即a=4x+

1

x

區(qū)間(

1

4

，2)上有兩不等實根或有一根，再研究函數(shù)ϕ(x)=4x+

1

x

，x∈(

1

4

，2)即可．
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，計算其值域為（3，4]，令h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），則問題轉(zhuǎn)化為：?m∈（3，4]，存在唯一的x0∈[e-4，e]，使得h（x₀）=m成立．再對h（x）求導(dǎo)，h′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，x∈[e-4，e]，分為a≤

1

e

，a≥e⁴和

1

e

＜a＜e4三種情況分別討論，從而進(jìn)一步求解．

解答： 解：（1）∵g′(x)=

-4x2+ax-1

x

且g（x）在區(qū)間(

1

4

，2)上不單調(diào)，∴-4x²+ax-1=0區(qū)間(

1

4

，2)上有兩不等實根或有一根，
即a=4x+

1

x

區(qū)間(

1

4

，2)上有兩不等實根或有一根，
令ϕ(x)=4x+

1

x

，ϕ（x）在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

1

2

，2)上單調(diào)遞增，∵ϕ(

1

4

)=5，ϕ(2)=

17

2

，ϕ(

1

2

)=4，∴a的取值范圍是(4，

17

2

)．
（Ⅱ）∵f′（x）=e^1-x（1-x），
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
又f（0）=3，f（1）=4，f（e）=e^2-e+3＞3，
∴f（x）的值域為（3，4]，
記h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），
原問題等價于：?m∈（3，4]，存在唯一的x0∈[e-4，e]，使得h（x₀）=m成立．∵h′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，x∈[e-4，e]
①當(dāng)a≤

1

e

時，h′（x）≤0恒成立，h（x）單調(diào)遞減，由h(x)max=h(e-4)=ae-4+4≥4，h（x）_min=h（e）=ae-1≤3，解得：0≤a≤

1

e

．
②當(dāng)a≥e⁴時，h′（x）≥0恒成立，h（x）單調(diào)遞增，h(x)min=h(e-4)=ae-4+4＞4，不合題意，舍去
③當(dāng)

1

e

＜a＜e4時，h（x）在[e-4，

1

a

]上單調(diào)遞減，在[

1

a

，e]上單調(diào)遞增，
且h（e^-4）=ae^-4+4＞4，h（e）=ae-1，
要滿足條件則ae-1≤3，∴

1

e

＜a≤

4

e

．
綜上所述：a的取值范圍是[0，

4

e

]．

點評：本題的第一小問中，也可以用以下思路：假設(shè)g（x）在(

1

4

，2)上單調(diào)，則g′(x)=

-4x2+ax-1

x

≥0或g′(x)=

-4x2+ax-1

x

≤0恒成立，注意到x的范圍，x＞0，即只需-4x²+ax-1≥0或-4x²+ax-1≤0對x∈(

1

4

，

1

2

)恒成立，求解出a的范圍，再取其補(bǔ)集即可．問題二的解答再次提醒廣大考生“轉(zhuǎn)化”思想的重要性，將問題逐步轉(zhuǎn)化，使我們的問題逐步明朗化，從而尋求解決方法．