Question

如圖所示，四邊形ABCD和ABEF都是正方形，點M是DF的中點．
（I）求證：AM⊥平面CDFE；
（II）求證：DF∥平面BCE．

Answer 1

證明：（ I）∵四邊形ABCD和ABEF都是正方形，
∴AB⊥AF，AB⊥AD，
又AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF．
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面ADF．
∵AM?平面ADF，
∴AM⊥EF．
∵AD=AF，在△ADF中，M是DF的中點，
∴AM⊥DF．
又∵DF∩EF=F，
∴AM⊥平面CDFE．
（II）由四邊形ABCD和ABEF都是正方形，
∴AB∥EF，AB=EF，AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD．
∴四邊形CDFE為平行四邊形，
∴DF∥CE．
又∵DF?平面BCE，CE?平面BCE，
∴DF∥平面BCE．
分析：（I）由已知中四邊形ABCD和ABEF都是正方形，易得AB⊥AF，AB⊥AD，由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面ADF，則EF⊥平面ADF也成立，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得AM⊥EF，再由點M是DF的中點，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得AM⊥DF，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AM⊥平面CDFE；
（II）由四邊形ABCD和ABEF都是正方形，易證明四邊形CDFE為平行四邊形，則DF∥CE，由線面平行的判定定理，即可得到DF∥平面BCE
點評：本題考查的知識點是，線面垂直的判定及性質(zhì)，線面平行的判定，熟練掌握空間中直線與平面垂直及平行的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．