已知函數(shù)f(x)=ex-ax2,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線在x軸上的截距為
1
2-e

(1)求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)g(x)=f(2x)-f(x),求證:g(x)在R上單調(diào)遞增.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即可得到結(jié)論.
(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-2ax,f′(1)=e-2a,f(1)=e-a,
∴y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(e-a)=(e-2a)(x-1),
由y=0,得x=
a
2a-e

∵切線在x軸上的截距為
1
2-e

a
2a-e
=
1
2-e
.解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=f(x)=ex-x2,則g(x)=e2x-ex-3x2,
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=2e2x-ex-6x,
令h(x)=2e2x-ex-6x,
h′(x)=2e2x-ex-6,
令h′(x)>0,得ex
1+
97
8
ex
1-
97
8
(舍去),
∴當(dāng)x>ln
1+
97
8
時,h(x)遞增,
當(dāng)x<ln
1+
97
8
時,h(x)遞減,
∴h(x)≥h(
1+
97
8
)=2(
1+
97
8
2-
1+
97
8
-6ln
1+
97
8
=
47-
97
16
-6ln
1+
97
8
47-10
16
-6ln
1+10
8
=
37
16
-6ln(
3
8
+1)

下面證明:ln(x+1)≤x,(x>-1),
設(shè)d(x)=ln(x+1)-x,則d′(x)=
1
x+1
-1=
-x
x+1
,
則d(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴d(x)≤d(0)=0,∴l(xiāng)n(x+1)≤x,
∴l(xiāng)n(
3
8
+3)≤
3
8
,
∴h(x)
37
16
-6×
3
8
=
1
16
>0

即g(x)在R上單調(diào)遞增.
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性,綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,運算量較大,難度較大.
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1
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an
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}
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