Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）已知a≥0，若對(duì)任意x∈R都有f（x）≥-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)只要求出函數(shù)f（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）若f（x）的為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
f（x）=x²-|x-a|，f（-x）=（-x）²-|-x-a|=x²-|x+a|，
故|x-a|=|x+a|，
兩邊平方得（x-a）²=（x+a）²，展開(kāi)得4ax=0恒成立，
∴a=0，
即若f（x）為偶函數(shù)，則a=0． 
（2）f（x）=

x2-x+a  x≥a x2+x-a  x＜a

設(shè)f1(x)=x2-x+a(x≥a)，f2(x)=x2+x-a(x＜a)，
①求f1(x)=x2-x+a(x≥a)，
即f1(x)=(x-

1

2

)2+a-

1

4

(x≥a)的最小值：
若a＞

1

2

，f1(x)min=f1(a)=a2；
若0≤a≤

1

2

，f1(x)min=f1(

1

2

)=a-

1

4

，
②求f2(x)=x2+x-a(x＜a)，
即f2(x)=(x+

1

2

)2-a-

1

4

(x＜a)的最小值，
∵a＞0＞-

1

2

，
∴f2(x)min=f2(-

1

2

)=-a-

1

4

，
比較-a-

1

4

與a²，a-

1

4

的大小：
∵a≥0，
∴-a-

1

4

＜0≤a2，-a-

1

4

＜a-

1

4

，
故f(x)min=-

1

4

-a，
“f（x）≥-1對(duì)x∈R恒成立”即為“f（x）_min≥-1（x∈R）”
令f(x)min=-

1

4

-a≥-1，
解得0≤a≤

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，將函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的根據(jù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．