Question

設(shè)集合P={z|z

.

z

-2iz+2i

.

z

-12=0，z∈C}，Q={w|w=

3

2

iz，z∈P}．
（1）在復(fù)平面內(nèi)P，Q對應(yīng)點的集合表示什么圖形；
（2）設(shè)z∈P，w∈Q，求|z-w|的最大值與最小值．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)求模,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：（1）設(shè)z=x+yi，x、y∈R；求出x、y滿足的關(guān)系式，即可得出P表示的圖形是什么，同理求出Q表示的是什么圖形；
（2）由|z-w|=|z-

3

2

iz|，求出|z|的取值范圍，即得|z-w|的最值．

解答： 解：（1）P中，設(shè)z=x+yi，x、y∈R；
則（x+yi）（x-yi）-2i（x+yi）+2i（x-yi）-12=0，
即x²+y²+4y-12=0，
∴x²+（y+2）²=16；
它表示以點（0，-2）為圓心，4為半徑的圓；
Q中，設(shè)w=x+yi，z=x₁+y₁i，x、y、x₁、y₁∈R，且x12+(y1+2)2=16；
∵w=

3

2

iz，
∴x+yi=

3

2

i（x₁+y₁i）=

3

2

x₁i-

3

2

y₁，
∴

x1= 2 3 y y1=- 2 3 x

；
即(

2

3

y)2+(-

2

3

x+2)2=16，
化簡得（x-3）²+y²=36，
∴Q表示的是以點（3，0）為圓心．半徑為6的圓；
（2）∵|z-w|=|z-

3

2

iz|=|z||1-

3

2

i|=

13

2

|z|，
∴4-2≤|z|≤2+4，
∴

13

2

×2≤|z-w|≤

13

2

×6，
即

13

≤|z-w|≤3

13

；
∴|z-w|的最大值是3

13

，最小值是

13

．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的概念與應(yīng)用的問題，也考查了復(fù)數(shù)求模的運算問題，解題時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，是中檔題．