Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個結論：
①函數(shù)y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

(k∈Z)對稱；
③函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)．
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；根據(jù)f（k-x）與f（-x）的關系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；再判斷f（-x）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結論，易判斷函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的單調(diào)性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個反例．

解答： 解：①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]，
∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，

1

2

]
故①正確；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（x），
所以關于x=

k

2

對稱，故②正確；
③中，∵f（-x）=|（-x）-{-x}|=|x-{x}|=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)，故③正確；
④中，x=-

1

2

時，m=-1，f（-

1

2

）=

1

2

，x=

1

2

時，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）故④錯誤．
故選D．

點評：本題考查的知識點是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對4個結論進行驗證．