Question

拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線x²-y²=1相交的一個交點為M，雙曲線的兩焦點分別為F₁、F₂，若，
（I）證明：M點在F₁、F₂為焦點的橢圓上；
（II）求拋物線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設M（m，n）（m＞0），因M點在雙曲線x²-y²=1，根據(jù)雙曲線的焦半徑公式得：MF₁=m+1，MF₂=m-1，結合求得m的值，從而得出MF₁+MF₂=3=定值，最后由橢圓的定義得出結論即可；
（II）由（I）得M的坐標為：（，）代入拋物線方程y²=2px（p＞0）得焦參數(shù)，最后寫出拋物線方程．
解答：解：（I）設M（m，n）（m＞0），因M點在雙曲線x²-y²=1，
根據(jù)雙曲線的焦半徑公式得：
MF₁=m+1，MF₂=m-1，
∵
∴（m+1）（m-1）=，⇒m=
∴MF₁+MF₂=3=定值，即點M到F₁、F₂的距離之和為定值，且大于|F₁F₂|，
由橢圓的定義得：M點在F₁、F₂為焦點的橢圓上．
（II）由（I）得M的坐標為：（，）
代入拋物線方程y²=2px（p＞0）得：2p=
∴拋物線方程是：．
點評：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、橢圓的方程及幾何性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．