Question

已知

π

2

＜α＜β＜

3π

4

，sin（α+β）=-

3

5

，cos（α-β）=

12

13

，求sin2α，cos2β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)條件分別求出cos（α+β），sin（α-β），再由sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]和cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]，運(yùn)用兩角和差的正弦和余弦公式，即可得到．

解答： 解：∵

π

2

＜α＜β＜

3π

4

，
∴π＜α+β＜

3π

2

，-

π

4

＜α-β＜0，
又sin(α+β)=-

3

5

，cos(α-β)=

12

13

，
∴cos(α+β)=-

4

5

，sin(α-β)=-

5

13

，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=(-

3

5

)×

12

13

+(-

4

5

)×(-

5

13

)=-

16

65

，
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=(-

4

5

)×

12

13

+(-

3

5

)×(-

5

13

)=-

33

65

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查兩角和差的正弦和余弦公式，以及角的變換，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．