Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；

(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，e^x>x²－2ax＋1.

Answer 1

解析　(1)由f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e^x－2，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，ln2)	ln2	(ln2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
 f(x)		2(1－ln2＋a)

故f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)．

f(x)在x＝ln2處取得極小值，

極小值為f(ln2)＝e^ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．

(2)設g(x)＝e^x－x²＋2ax－1，x∈R.

于是g′(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.

由(1)知當a>ln2－1時，g′(x)最小值g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.

于是對任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R內單調遞增．

于是當a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.

即e^x－x²＋2ax－1>0，故e^x>x²－2ax＋1.