Question

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′，四邊形ABCD為正方形，AA′=2AB=2，E為棱CC′的中點．
（Ⅰ）求證：A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）設(shè)F為AD中點，G為棱BB′上一點，且，求證：FG∥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下求二面角G-DE-B的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵四棱柱 為直四棱柱，∴BD⊥AC，BD⊥AA'，AC∩AA'=A，∴BD⊥面ACEA'．
∵A'E?面ACEA'，∴BD⊥A'E．∵，，，∴A'B²=BE²+A'E²．∴A'E⊥BE．又∵BD∩BE=B，∴A'E⊥面BDE．（4分）
解：（Ⅱ）以D 為原點，DA 為x 軸，DC 為y 軸，DD'為z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∴A'（1，0，2），E（0，1，1），，．
∵由（Ⅰ）知： 為面BDE 的法向量，，（6分）∵．∴．
又∵FG?面BDE，∴FG∥面BDE．（8分）
解：（Ⅲ） 設(shè)平面DEG 的法向量為，則 ，．
∵，即y+z=0.，即．
令x=1，解得：y=-2，z=2，∴．（12分）∴．
∴二面角G-DE-B 的余弦值為．（14分）
分析：（I）由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，且底面四邊形ABCD為正方形，我們可得BD⊥AC，BD⊥AA'，我們結(jié)合線面垂直的判定定理可得BD⊥面ACEA'，進(jìn)而BD⊥A'E，再由AA′=2AB=2，由勾股定理可得A'E⊥BE，再由線面垂直的判定定理，即可得到A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D 為原點，DA 為x 軸，DC 為y 軸，DD'為z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線FG的方向向量及平面BDE的法向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到兩個向量垂直，進(jìn)而得到FG∥平面BDE；
（Ⅲ）結(jié)合（II）中結(jié)合，再由出平面GDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角G-DE-B的余弦值．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求示，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面垂直的判定及性質(zhì)定理，（II），（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間中直線與平面位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．