在數(shù)列{an}中，已知數(shù)學(xué)公式．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

解：（1）∵．
∴…．（1分）
…（2分）
…（3分）
由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式…..（5分）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí)，，猜想成立…..（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+，k≥1）猜想成立，即…．（7分）
∵．…（8分）
∴…（12分）
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立…..（13分）
根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何n∈N+都成立…..（14分）
（用其他方法正確證明也給分）
分析：（1）利用，n分別取2，3，4，可求出a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，利用，可證得當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，故可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)的猜想與證明，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明，尤其第二步的證明．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求使Sn＜
m
20
對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個(gè)位數(shù)（n∈N*），若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為2011，則正整數(shù)k之值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•淮南二模）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計(jì)算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn．

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