Question

記直線 x=π，y=π 與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)為（a，b），則函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點(diǎn)的概率為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  π

  4

  -

  1

  2

• C．

  π

  4

• D．1-

  π

  4

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點(diǎn)，利用根的判別式算出a²+b²≥π²．由此作出如圖所示直角坐標(biāo)系，可得滿足條件的點(diǎn)（a，b）在正方形內(nèi)圓外的部分，即如圖的陰影部分區(qū)域．由此利用面積計(jì)算公式和幾何概型公式加以計(jì)算，可得所求的概率．

解答：解：若函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點(diǎn)，
則△=（2a）²-4（π²-b²）≥0，即a²+b²≥π²．
在坐標(biāo)軸上將a，b的取值范圍標(biāo)出，如圖所示
當(dāng)a、b滿足函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)（a，b）位于正方形OABC內(nèi)且在圓外的部分，即如圖的陰影部分區(qū)域．
∵正方形OABC面積為S₁=π²，扇形OAC面積為S₂=

1

4

π•OA2=

π3

4

，
∴陰影部分面積為S=S₁-S₂=π²（1-

π

4

），
因此可得函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點(diǎn)的概率為：
P=

S

S1

=

π2(1- π 4 )

π2

=1-

π

4

．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出二次函數(shù)有零點(diǎn)，求相應(yīng)的概率，著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、面積計(jì)算公式和幾何概型的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．